Phần iii : các bài tập nâng cao

1/dùng định nghĩa
1) Cho abc = 1 và . Chứng minh rằngb2+c2> ab+bc+ac
Giải

Ta có hiệu: b2+c2- ab- bc – ac
b2+c2- ab- bc – ac
= b2+c2- ab– ac+ 2bc) 3bc
b- c)2
b- c)2 0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 )
Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh
2) Chứng minh rằng
a)
b) với mọi số thực a , b, c ta có

c)
Giải :
a) Xét hiệu
H =
=
H0 ta có điều phải chứng minh
b) Vế trái có thể viết
H =
H > 0 ta có điều phải chứng minh
c) vế trái có thể viết
H =
H 0 ta có điều phải chứng minh

Ii / Dùng biến đổi tương đương
1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng

Giải :
Ta có (vì xy = 1)

Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với



BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

2) Cho xy 1 .Chứng minh rằng

Giải :
Ta có




BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh
Iii / dùng bất đẳng thức phụ

1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1
Chứng minh rằng
Giải :
áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
Ta có

(vì a+b+c =1 ) (đpcm)

2) Cho a,b,c là các số dương
Chứng minh rằng (1)
Giải :

(1)

áp dụng BĐT phụ Với x,y > 0
Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng
Vậy (đpcm)

Iv / dùng phương pháp bắc cầu
1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng :

Giải :
Do a <1 1 và b <1
Nên
Hay (1)
Mặt khác 0
Vậy
Tương tự ta có


(đpcm)

2) So sánh 31và 17

Giải :
Ta thấy <
Mặt khác
Vởy 31< 17(đpcm)

V/ dùng tính chất tỉ số
1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chứng minh rằng :

Giải :
Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có
(1)
(2)
(3)
Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :
(đpcm)

2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác
Chứng minh rằng

Giải :
Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0
Và a < b +c ; b Từ (1)
Mặt khác